a) Seja a matriz A = [aij]mxn
Submatriz de A é qualquer matriz que se obtém de A eliminando-se "i" linhas e "s" colunas. Seu determinante é chamado "menor" de A, se a submatriz for quadrada.
b) Características de A: "É a ordem máxima dos "menores" não todos nulos que se pode extrair de "A".
c) Teorema de kronecker: A característica de uma matriz é "p" se e somente se:
- Existir pelo menos um menor de ordem p diferente de zero. (determinante de ordem p diferente de zero).
- Todos os menores orlados ao menor do item (i) de ordem p+1 são iguais a zero.
d) Propriedades de Características: A característica de uma matriz não se altera quando:
- trocamos entre si duas filas paralelas
- trocamos ordenadamente linhas por colunas
- multiplicamos uma fila por uma constante K diferente de 0
- acrescentamos ou eliminamos filas nulas
- acrescentamos ou eliminamos uma fila que seja combinação linear de outras filas paralelas
- somamos a uma fila uma combinação lienar de outras filas paralelas.
Discussão de um Sistema Linear (S)
Seja o sistema (S) definido em "(I.a)" e ainda:
"p" = característica da matriz incompleta (MI)
"q" = característica da matriz completa (MC)
"m" = número de equações
"n" = número de incógnitas
Teorema de Rouche-Capelli:
p ≠ q <==> Sistema impossível (SI)
p = q = n <==> Sistema Possível e Determinado (SPD)
p = q < n <==> Sistema Possível e Indeterminado (SPI)
Obs.: no (SPI), o número: Gi = n - p é chamado grau de Indeterminação do Sistema.
Sistema Linear Homogênio (S.L.H.): Seja o sistema linear homogênio
- as matrizes M.I. e M.C. embora diferentes terão certamente a mesma característica p = q (S.L.H. é pois, SEMPRE POSSÍVEL).
- a ênupla (0,0,...,0) sempre é solução da equação:
ai1x1 + ai2x2 + ...+ainxn = 0, ai Є IR (chamada trivial).
- A "C.N.S." para um S.L.H. admitir:
só a solução trivial é : p = noutras soluções além da trivial é : p < n
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